つまり、下に示す三角形要素の[N]^T[N]が積分できれば良いことになります。

三角形要素については、早くから多くの数学者や技術者により、研究しつくされています。上の計算についても、簡単な式で計算出来ることが知られています。下がその式です。下式の詳細を知りたい方は、ReferenceのBooksを参参照して下さい。

ここに、!はFactorialを意味します。そして、0!=1です。
上の式を使うと、N_iN_jの積分は、次の様になります。Aは、三角形要素の面積です。

結果的に、[N]^T[N]の積分は、下式のマトリックスに示す様になります。また、マトリックスの中を全部足すと要素の面積Aになることに注目して下さい。