Unbounded Region: Helmholtz Equation

Unbounded Region
2 Dim. Helmholtz Equation 02

■Helmholtz equation■
上式(U(x,y,t)=u(x,y)exp(-iωt))を wave equation に代入すると下に示すHelmholtz equationが出来上がります。

ここに、k=ω/γ で k のことをwave number と言います。また、上式を次の様に記述することも多いです。

▽²u(x,y)＋k²u(x,y)=0

ここまで来ると、後は上の式を境界要素法で解くだけです。

■Boundary equation■
Laplace equation の時と同様に上の式にWeighted Residual Method を施します。すると次の様になります。

ここに、u=u(x)、G=G(x,ξ)、(x)=(x,y)、(x,ξ)=(x,y,ξ_x,ξ_y)、そして、G(x,ξ)は、Helmholtz equation のKernel function です。

上の式をindex notation で書くと次の様になります。 Index notation についてはFEMのところで勉強しましたがまだ理解していない人はここでもう一度復習しておいて下さいね。

準備が整ったところで、上の式の2階微分の項に部分積分を施します。すると下式の様になります。