すると、三角形要素の面積は、その2つのベクトルの外積で求めることが出来ます。外積のルールとして、AxB = - BxAがあることを理解しておいて下さい。よって、三角形要素の面積は次の様になります。

もっと、詳細に書くと、下の様になります。

次に、三角形要素の近似式を考えみましょう。まず、x-y 座標で、2点を通過する直線の式は、y=ax+b ですね。つまり、2点だと、直線を決定する未知数(a, b)が2つになります。
三角形要素の場合は、どうでしょう。x-y-T 座標で、3点を通過する平たい面の式は、次の様になります。

式は出来ましたが、じゃ、”どうやって a, b, c を決める”かです。
誰でも考える方法としては、各節点の座標値と温度を上式にほうりこんで、3X3マトリックスの連立方程式を解くと、a, b, c は得られます。しかし、これは賢い方法ではありません。せっかく、形状関数の作り方を1次元で勉強したので、 a, b, c の決定に、形状関数のルールから攻めてみましょう。

形状関数がどんなものかは、まだ、わかっていませんが、もし、形状関数が有れば、三角形要素内の温度分布は、次の様になります。

さらに、温度の代わりに座標(独立変数)を上式に代入すると、次の様にxとyを表わすことが出来ます。

それに、形状関数の究め付けは、3つの形状関数の和をとると、常に1になることです。つまり、下の式です。