部分積分をもう1回、領域積分のKernel function の微分の項に施します。すると、次の様になります。

上式の領域積分項に注目して下さい。この積分項が定数で置き換えられると、境界積分のみが残ることになります。つまり、下式を満足するG(x,ξ) が有るか無いかです。もっと分かり易く言うと、”Helmholtz equation の Kernel function が存在するか”です。

ここに、δ(x,ξ) は、Dirac delta function です。そして、Laplace equation のところでも言いましたが、δ(x,ξ) は次の様な特徴を持っています。

C(ξ) について、前にも述べましたが、もう一度、復習しておきます。

■Kernel function■
Helmholtz equation の Kernel function は、次の式で与えられています。下式が本当に上の上の式を満足しているかいなかは、貴方にまかせることにします。

ここに、r=|x-ξ| です。H₀⁽¹⁾(kr) をHankel function of the second kind of order zero と言います。