2次元の Laplace equation や Poisson's equation が解決してくれる無限境界の問題はたくさんあります。 全部、紹介しているとハードディスクの容量が足らなくなりますので ここでは流体力学の Doublet をベースに話しを進めます。 Doublet とは sink と source が同一の面に存在する流量 +Q と -Q をもっている流れのことです。 Sink とは吸い込みを source とは吐き出しを意味します。
Doublet はElectromagnetics の勉強で出てくる導線のインダクタンスに深い関係があります。 インダクタンスは、磁束(Φ)と電流(I)との比で決まる値です。 と言うことで インダクタンスのの計算方法についても簡単に紹介します。
■3次元と2次元の違い■
Point charge が3次元の無限空間に存在している場合を考えてみましょう。
無限空間のpoint charge ですから解は Laplace equation の kernel function になります。
下式がそうです。
上式を よーく見ると、無限点では G(x,ξ) がゼロになります。 減衰は 1/r になっています(電磁波も1/rで減衰する)。 つまり 無限に大きい3次元の空間は point charge を吸収できることになります。
2次元の無限空間では どうでしょう。 解は下式で表わすことが出来ます。 つまり 2次元のLaplace equation 式の kernel function です。