■有限要素法(FEM)風のWeighted Residual Method■
これまでは、Source point の数について議論してきませんでした。しかし、離散化をするときには、無限個のSource point を持てないので、Source point を有限の数にする必要があります。すると、i 番目のSource point の重み関数は、 G(x,ξ_i) として定義出来ます。例えば、Source point が n個 有った場合、重み関数 は、n 個 存在します。すると、積分式もn 個 立てることが出来ます。つまり、前のページの最後に示した2つの積分式が、n 個 必要になります。

有限要素法の場合のWeighted Residual Methodを思い出して下さい。有限要素法では、要素毎の積分において、要素の節点の数だけの重み関数φ_iが必要でした。境界要素法では、Source pointの数だけの重み関数 G(x,ξ_i) が必要なのです。

有限要素法と境界要素法との違いで、もう1つ重要なことが有ります。有限要素法において、解析する最小領域は要素です。厳密には、2次要素が１つあれば近似解をえることが出来ます。ところが、境界要素法では、全境界が最小解析単になってしまいます。つまり、領域を囲む全境界が１つの要素といった感じです。後程、境界を境界要素で分割し積分する方法を説明します。なんとなく、有限要素法と境界要素法の関係が見えてきましたでしょうか。

境界要素法を有限要素法風にすために、新しい重み関数を紹介します。その前に、有限要素法での重み関数を見てみましょう。1次元線形要素の重み関数を次の様に定義しました。

境界要素法でも、次の様に表すことにします。

有限要素法では、δh_i の意味は、明白になっていませんでした。しかし、境界要素法のδh_iは、heat equation の場合　heat source を意味しています。例えば、δh₁の場合、1watt の熱が面積ゼロのSource point 1 に与えられている状態を示します。その時の温度は、G(x,ξ₁) で与えられます。結果的に、Source point 1での温度は、+∞ になります。このへんが、ちょっと、有限要素法と違います。