距離 r が大きくなると、Bessel 関数と Neumann 関数の関係は、J₁=N₀とN₁=-J₀になります。これは、この図とこの式を見れば明らかです。つまり、-iH₁⁽¹⁾=H₀⁽¹⁾ になります。すると、ds=adθから、上式は次の様に書けます。

ところで、Hankel 関数(H₀⁽¹⁾)ですが、r が大きくなると、この式から、H₀⁽¹⁾ は sqrt(1/r) に比例することが分かります。そして、領域の半径である a は、a が大きい場所では、a=r として差し支えありません。よって、上の極限の式は、次の2つ分割できます。

上の2つの条件が満足されると、無限境界上の積分をゼロにすることができることになります。特に、kがゼロでない時、上式の2つの式をSommerfeld radiation condition と言います。式の意味は、無限点において、sources of radiation が無いことを意味しています。

上の右の式のβについてですが、領域が大きくなると a=r になります。よって、β＝0 になります。つまり、u(x) が、無限点においてゼロになる必要はなさそうです。詳細な議論については、Sokolnikoffを見て下さい。

ここら辺で一服してください。

■水面波への応用■
水面上の波には、線形波と非線形波に分類できます。非線形波の1つにサージがあります。つまり、津波です。ここで取り上げる波は、津波の様に複雑な波でなく、波長の長い線形波に限定します。すると、水面波は、下のWave equation で追跡できます。

ここに、U(x,y,t) は、波の高さ(tpography function)を意味します。γは、wave velocity です。