■積分式■
前のページの微分方程式にLaplace equation の kernel function をかけて、積分し、境界積分式を導くと、次の様になります。

積分の領域(SとD)は、無限大に長い閉境界線と無限大に広い面積であるということに注意して下さいね。つまり、境界(S)は、無限遠の境界のみなので(孔は無いので)、ξ点は、全て領域内にあることになります。よって、C(ξ)=1 です。そして、無限遠点では、u(r=∞)=0 と ∂u/∂n=0 ですから、境界積分は、上の式から消えてしまいます。すると下式が残ります。

式を簡単にするために、φ(x) = q₁(x)-q₂(x) としました。上の式もφ(x)が存在(有限な値を持つ)している部分(Doublet)のみが数値を持ち、それ以外の領域では、ゼロを生産することになります。

境界積分を勉強しているのに、領域積分のみが残ってしまいましたね。

■例題■
計算式が出来上がったところで、早速、例題をやってみましょう。まず、下図を見て下さい。上下に2つの円があります。上の円内に+q が等分布に、そして、下の円内に -q が等分布にあるとします。円の半径 は、a で表わすことにします。そして、2つの円の中心間の距離は、d で示します。