Numerical Method & Algebla
Matrix-5

展開を進めると、以下の様になります。

上の関係式は、有限要素法での式の展開で頻繁にでてきますので、今の内に上の関係式が正しいことを、しっかり勉強しておいて下さい。

では、1次元の場合、どうなるのでしょうか。下は、1次元1次要素の近似式です。



N1とN2は、形状関数と呼ばれています。節点でのu1とu2は、上の図に示す通りです。ショートハンドノーテーションでは、{u(x)}=[N]{u}と書けます。[N]を形状マトリックスとでも呼びましょうか。ベクトル{u}は、2つのコンポーネントを持っていますが、{u(x)}は1つです。つまり、ベクトル{u}のコンポーネント数は、要素の節点数に依存し、{u(x)}は未知関数の数に依存していることに成ります。ちょっと頭がくしゃくしゃしてきましたね。まー、雰囲気がつかめればOKです。
では、du/dxとdδu/dxは、どの様に書けるのでしょうか。以下の様になりますね。左辺は、コンポーネント数が1のベクトル数です。この場合、ベクトルのコンポーネント数は、式の次元に関係してきます。

ショートハンドノーテーションでは、{du(x)/dx}=[B]{u}です。形状マトリックスの微分を[B] マトリックスと呼びます。すると、(du/dx)と(dδu/dx)の積は、以下の様になります。

2次元の時と同じ形になりましたね。有限要素法では、上式の様に視覚的に覚え易いマトリックス演算式を生成します。 1次元では、Matrixの表記法にこだわったため、{u(x)}=[N]{u}の様に書きました。右辺の{u}は、節点でのu(x)の値を示します。左辺の{u(x)}は、微分方程式中の未知数(unknown)の数や式の次元数に関係しています。つまり、コンポーネント数=1です。コンポーネント数=1なのにベクトル表示するのは、誤解を招きかねないので、1次元の問題および変数の表現に限って、以下の表記方法を使うことにします。

次は、連立方程式の解き方です。


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