■Gauss-Legendre法■
数値積分の精度を向上させるには、f(x)の特徴をよく理解している法則を使い、分割幅(h) を可能な限り小さくすることです。
ここで問題になってくるのが、解析精度とサンプリングポイントの数のバランスです。 つまり、数値積分の計算に必要とされる掛け算と割り算が少なくて、解析精度の高い数値積分方法が望ましいことになります。
その様な厳しい条件に応えてくれるのが、有限要素法で最もよく使われているGauss-Legendre法です。この方法を用いると、Simpson則に比べ少ないサンプリングポイントで、より高い計算精度が得られます。まず、この方法の使い方を2-Point法と下図を用いて説明します。下図の横軸は無次元座標のξです。縦軸がf(ξ)です。
すると、上図の塗りつぶした部分の面積は、Gauss-Legendre法によると、次の式で計算できます。
ここで、ξi(上図の水色の線)はSampling pointでの座標値で、wiはWeighting factorです。そして、それらの値は、下表のようになっています。
Two-Point Gauss-Legendre Quadrature | ||
i | ξi | wi |
---|---|---|
1 | -0.577350 | 1.000000 |
2 | +0.577350 | 1.000000 |
ここで一言:積分の計算誤差が最小になるように、上表の ξiとwi の値を決めています。このGauss-Legendre法の特徴としては、ξiおよびwiが左右対称になっています。つまり、Σwi=2、Σξi=0 になっています。ξiおよびwiの値の計算方法については、文献を参照して下さい。
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