■Gauss-Legendre法■
数値積分の精度を向上させるには、f(x)の特徴をよく理解している法則を使い、分割幅(h) を可能な限り小さくすることです。
ここで問題になってくるのが、解析精度とサンプリングポイントの数のバランスです。 つまり、数値積分の計算に必要とされる掛け算と割り算が少なくて、解析精度の高い数値積分方法が望ましいことになります。 その様な厳しい条件に応えてくれるのが、有限要素法で最もよく使われているGauss-Legendre法です。この方法を用いると、Simpson則に比べ少ないサンプリングポイントで、より高い計算精度が得られます。まず、この方法の使い方を2-Point法と下図を用いて説明します。下図の横軸は無次元座標のξです。縦軸がf(ξ)です。

すると、上図の塗りつぶした部分の面積は、Gauss-Legendre法によると、次の式で計算できます。

ここで、ξ_i(上図の水色の線)はSampling pointでの座標値で、w_iはWeighting factorです。そして、それらの値は、下表のようになっています。

ここで一言：積分の計算誤差が最小になるように、上表の ξ_iとw_i の値を決めています。このGauss-Legendre法の特徴としては、ξ_iおよびw_iが左右対称になっています。つまり、Σw_i＝2、Σξ_i＝0 になっています。ξ_iおよびw_iの値の計算方法については、文献を参照して下さい。