■Gaussの消去法■
では、Gaussの消去法のアルゴリズムは、どの様かを見てみましょう。早速、下の左に示す2X2のマトリックスをもつ連立方程式をGaussの消去法で解いてみよう。

ここで、もし上式のa₂₁=0 だった場合、つまり上右図の状態の時です。2行目の式より、x₂=b₂/a₂₂ですから、 x₁=(b₁-a₁₂x₂)/a₁₁となる。連立方程式の解が、得られたことになります。ここに、x₂とx₁が成立する条件として、a₁₁とa₂₂がゼロであってはなりません。

問題に戻って。どうすればa₂₁=0にすることができるかです。まず、連立方程式を取り扱う上で、2つのルールを紹介しておきます。

上の2つのルールは、繰り返し、連立方程式に施しても、x₁とx₂の解は変わらりません。しかし、コンピューターは有限桁で計算しているため、上のルールの実行もなるべく少ない方が良い解を生み出します。

問題に戻って。マトリックス型の式を次の様に書き改めます。

x₁の前の定数はゼロになりますから、x₂は次の様になります。