Time Derivative and Upwind Method
Upwind Method
数値計算を長年やっていて、最後まで私を悩ましたのが、1階微分の離散化です。
ここで紹介するUpwind method も完璧な方法ではありませんが、一応、問題は解決してくれます。
■Conventional Approach■
ここで取り上げる微分方程式としては、以前紹介した下式を使います。
Upwind method の概念を説明するには、1次元の微分方程式で十分です。
上の式によると、熱は熱伝導係数(k)だけでなく、
流体の速度(u)によっても運ばれることになります。
この速度(u)が熱伝導による拡散速度よりも速い時に、数値解析で問題を引き起こすのです。
この問題を披露してから、Upwind method を紹介します。
まずは、有限要素式を導くところから始めましょう。
その前に、上式のGeneral solution は、次の様になります。
貴方は、General solutionが正しいかどうかをチェックして下さいね。
ここに、C1とC2は、境界条件によって決められる定数です。
そして、上の微分方程式の残差は、次の様になります。
残差とは、上の微分方程式のT(x)に
近似解を代入したときに、下式のR(T)に入る値でしたね。
さらに、積分式は、残差に重み関数をかけて、0 から L まで積分してゼロと置くことにより、
得られんでしたね。
すると、次の様になります。
Lは、要素の長さを意味します。
ここに、q は下に示す様に heat flux になっています。
さらに、1次要素で上の積分式を近似すると、
マトリックス型有限要素式は、次に様になります。
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