Coaxial3

Electromagnetics and Ham Radio
Coaxial3

もう１つの未知数は、V(b)=0ですので以下のようになります。

\begin{eqnarray} 0=C_0-\frac{Q}{2\pi\varepsilon}{log}_e(b) \end{eqnarray}

これらの2つの未知数を一般解に挿入すると、下式(左側の式)の厳密解が得られます。そして芯線の表面での電位は、以下の右側の式になります。これは書物等でよく見かける式です。

\begin{eqnarray} V(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon}{log}_e\left(\frac{b}{r}\right) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} V(a)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon}{log}_e\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray}

そしてQ=CVよりキャパシタンスは以下で得られます。

\begin{eqnarray} C=\frac{2\pi\varepsilon}{{log}_e\left(\frac{b}{a}\right)} \end{eqnarray}

インダクタンスの式も同様な手順で得られます。芯線の表面での磁気ベクトルポテンシャルA_zは、以下の左側の式になります。A_zは磁束Φですので、A_z(a)=LIより、インダクタンスは以下の右側の式のように書けます。

\begin{eqnarray} A_z(a)=\frac{\mu I}{2\pi}{log}_e\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} L=\frac{\mu}{2\pi}{log}_e\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray}

そして特性インピーダンスは、Z₀=√(L/C)より、これもよく書物で見られる以下の左式になります。真空での定数μ₀=1.26×10^-6[H/m]、 ε₀=8.85×10^-12[F/m]を左式に代入すると、最終的に以下の右式が得られます。

\begin{eqnarray} Z_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}{log}_e\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} Z_0=60\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}{log}_e\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray}