Time Derivative

Time Derivative and Upwind Method
Time Derivative Term-3

■First Order ODE■
そこで、ここでは下の最もシンプルな常微分方程式を解く、3つの数値計算方法を紹介します。

まず、上式のExact solution は、y(t) = y(0) e^t ですね。 y(0)は、未知数y(t)の初期値(initial Value)です。tは、無次元化された時間の従属変数です。

時間 t が 0 から Δt 進んだ時点を考えみましょう。すると、Exact solution では次の様に書き表すことが出来ます。

y(t)/y(0) = 1 + Δt + (1/2)Δt² + (1/6)Δt³ + ............

■時間項の近似■
近似解ではどうなるか。まず、時間項は下に示す式で近似します。これは、最も簡単な差分の式です。有限要素法では、時間項処理に差分法の力を借りることになります。

時間項処理手続き　その2
時間項は　　で近似する。

ここに、Δtのことを時間ステップ値といいます。
では、微分方程式の右辺は、どの様に処理したら良いにでしょう。

■CASE 1 : Explicit Method■
その第1の方法として、Explicit Method を紹介します。この方法は、微分方程式の右辺のyを時間t＝tの値と考えます。つまり、下式です。

結果的に、y(t+Δt) = y(t) + Δt・y(t) となります。これを、y(t) で割と次の様になります。

y(t+Δt)/y(t) = 1 + Δt

これは、時間積分において、最小の精度であることに気付いたと思います。つまり、これより悪い予測方法はないということです。