Time Derivative and Upwind Method
Time Derivative Term-4

■CASE 2 : Implicit Method■
次の方法は、Implicit Method といい、微分方程式の右辺のyを時間t=t+Δtの値と考えます。つまり、下式です。

この場合、 結果的には、y(t+Δt)・(1-Δt) = y(t) となります。そして、この式を y(t) で割ると次の様になります。

y(t+Δt)/y(t) = 1 + Δt + Δt2 + ............

これは、前のExplicit method より一歩前進しているかの様に見えるが、残念ながら Δt2 の項の前に(1/2) がmissing しています。つまり、精度的に言って、Explicit method と同じであることになります。

■CASE 3 : Crank-Nicolson Method■
最後に、Crank-Nicolson Method を紹介します。この方法は、微分方程式の右辺のyに時間t=tの値とt=t+Δtの値の平均を使っています。式で書くと次の様になります。

この場合、 y(t+Δt)とy(t)の関係式は、y(t+Δt)・(1-(1/2)Δt) = y(t)・(1+(1/2)Δt) となります。そして、この式を y(t) で割ると次の様になります。

y(t+Δt)/y(t) = 1 + Δt + (1/2)Δt2 + (1/4)Δt3 + ............

これは、前のExplicit method や Implicit method に比べると一歩前進しています。理由は、 Δt2 の項の前に(1/2) がきているからです。Δt3 の項の前の定数が(1/6)でなく(1/4) はちょっと残念ですが。しかし、1つ掛け算が増えるだけで精度が上がるのですから、使ってみる価値はあります。

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