Time Derivative

Time Derivative and Upwind Method
Time Derivative Term-7

■Implicit method の安定性■
次に、α=0 の Implicit method の安定性を考えてみましょう。連立方程式は、次の様になります。つまり、マトリックスに掛け算されるベクトル{T}に、t+Δt 時の値を使います。

これを、T₂について解き、ちょっとアレンジすると、次の様になります。

早速、Δt と T₂ の関係をチェックしてみましょう。まず、Δt=0 の場合、 T₂^(t+Δt) = T₂^(t) になります。OKですね。では、Δt=∞ の場合はどうでしょう。結果は、次の様になります。

定常解になっています。よって、Implicit method では、Explicit method の様にΔt に制限を受けることはありません。もちろん、線形微分方程式に限りますが。まー、Implicit method を使っていれば安全ということですね。