One Dimensional Finite Element Method
Calculus of Variations-14

■Calculus of Variations のまとめ■
有限要素法の勉強の中で、特に注意してもらいたい項目が幾つかあります。それらは、変分法Divergenceの定理座標変換が有ります。中でも、変分法は、しっかりと勉強して下さいね。重み付け残差法とかGalerkin法とかEnergy法とか、色々な方法が有りますが、それらはぜんーぶ変分法から導き出されているのです。

Helmholtz Equation と その状態関数
変数y(x)のpathを変えながら、右の積分を計算します。積分値が最大か最小(つまり極値)になるときが、Helmholtz Equationの厳密解になる。
両端がDirichlet型境界条件のとき、厳密解は、y0(x) になる。このとき、積分は、I0になる。
変数y(x)のpathを変えるために、むりやり近似式(近似解)を作る。 ここに、δy(x)=δy1φ1(x)
極値は、Iをδy1で微分してゼロになる点になる。この場合、δy1もゼロなる。
ここでは、近似式を状態関数に代入して、IがI0になる条件を探す。
ショートハンドで上の式を書く。そして、IがI0になる条件を探す。
IがI0になる条件は、 だね。
つまり、δI=0 とは、 である。
上の式は、重み付け残差法で導いた式と同じですね。近似式と重み関数の定義する積分式を定義しゼロと置く積分式の2階微分項に部分積分法を施す と言う操作をやったのと同じ結果が得られたことになる。
近似式を構成しているδy(x)が重み関数になっている。これは、近似式に一部を重み関数とするというGalerkin法と同じ結果になっていますね。
Euler-Lagrange Equation は、状態関数と微分方程式との架け橋である。
重み関数の微分は、Neumann型境界でゼロになる。

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