■概　要■
有限要素法の話に入る前に、厳密解と近似解の違いについて述べておきます。 微分方程式の厳密解をその微分方程式に代入すると何も残りません。 ところが、その微分方程式の近似解を微分方程式に代入したら、どうなるでしょう。 今度は、誤差らしきものが残ります。
この誤差らしきものが、厳密解と近似解との差を表す残差(Residual) です。 近似解が、厳密解に近い程、Residualは小さくなります。 有限要素法では、このResidualに注目し、Residualを最小にする方法が考え出されました。 それが、このサイトで紹介する重み付け残差法(Weighted Residual Method) です。 ここでは、WRMとも呼ぶことにします。 つまり、有限要素法では、Residualが最小になる近似解を提供してくれていることになります。
余談ですが、重み付け残差法の原型は、変分法のbreakthroughと言われているEuler-Lagrange Equation(1759) が導出された過程で出てきていると考えられます。 なぜかと言うとEuler-Lagrange Equationと微分方程式は密接な関係に有るからです。

重み付け残差法では、5つの手続きが有りこれらを実施することにより与えられた問題の近似解を得ることができます。

■Residual■
では、早速、Residual から説明します。まず、解析したい微分方程式を 、L(u)+....=0 の形にします。下に示すHelmholtz equation は、 既に L(u)=0 の形になっています。ここで、L(u) の u は厳密解を意味します。