<Linear Element
One Dimensional Finite Element Method
Linear Element

■今までの近似式■
ここで、もう一度、今まで使っていた近似式を観察してみましょう。近似式をちょっと並び替えると、次の様になります。ξ=x/Lです。

u(x)=u(0)(1-ξ)+a1ξ(1-ξ)+u(L)ξ

つまり、u(x)は、変数×関数の集りで表わされています。ここに、変数とは、u(0)、a1、u(L)のことで、u(x)と同じ単位をもっています。関数は、無次元であり、変数が関係する点または領域では、値があり、他の点ではゼロになっていますね。下の図を見て下さい。

例として、関数(1-ξ)は、u(0)が指定されている点(ξ=0)で値1をもち、ξ=1の点ではゼロになっています。関数ξも同様なことが言えます。関数ξ(1-ξ)では、ξ=1/2で1/4の値をもち、ξ=0とξ=1で、ゼロになる2次曲線です。変数a1には、微分方程式のα2が反映されていています。また、a1は、u(x)と同じ単位をもっているが、u(ξ=1/2)ではありませんね。

有限要素法で用いられる近似式では、a1の様な中途半端な変数は用いず、指定された点での未知数u(x)の値を持つ変数を使います。下式がそうです。また、この式には、これまでの近似式u(x)=φ0(x)+a1φ1(x) の中で境界条件のみを満足している関数φ0(x)も下式に融合されることになります。

u(x)= u1φ1(x)+ u2φ2(x)+ u3φ3(x)+ ...........................+ un+φn(x)

つまり、近似式として、下図に示す関数を使ってWRMで微分方程式を解くと、求まる未知数uiは、全て指定された点xiでのu(x)になります。下図は、全領域を1つの2次要素で表した例です。(1次要素の場合は、既にWRMで概略を紹介してあります。)

そして、その近似式は、次の様に書けます。

u(x)=u(0)φ1+u(L/2)φ2+u(L)φ3

このように、2次式で書かれた近似式をもつ要素を2次要素と言います。2次要素は、後で取り上げるとして、ここでは、まず、1次要素(Linear Element)を紹介します。

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