One Dimensional Finite Element Method
A Brief History of the FEM

微分方程式を数値的に解く有限要素法(Finite Element Method)が開発された時期は、1950年代の後半ごろで、弾性力学に応用したTurner, Clought, Martin, ans Topp(1956)が最初だとされています。しかし、実際のところは、なんともいえません。何故かというと、文献や本ごとに最初の人物が違うからです。ちなみに、領域を要素分割して応力解析を行うという方法は、既に1940年代に考え出されていたそうです。しかし、当時、大きな問題を処理できる計算能力はなかったためか、計算機が出現する1950-60年代まで、具体的な応用例は見つかっていません。

■変分法■
有限要素法には、ベースとなる数学がありました。17世紀ベルヌーイ(Jean Bernoulli (1667-1748))(click here)によって始められた変分法がそれです。1697年、Jean Bernoulliは、NewtonやLeibnitzへ、BRACHISTOCHRONE問題(変分法の考えなしには解きにくい)を書いた手紙を送っています。この問題は、球が位置Aから位置Bまで転がり落ちるのに必要な時間が、最小になる曲線を見つけ出すことにあります。そして、後に、この問題は、Newton、Leibnitz、そしてJean Bernoulli本人と彼の家族によって解かれています。

Jean Bernoulliは、その後も問題作りに熱中し、変分法そのものを発展させることには努力しなかったと、歴史上の定説になっています。 また、多数の数学者によって、変分法の確立が試みられたが、誰も成功には至っていませんでした。しかし、Lagrange(1736-1813)(当時23歳)は、当時52歳だったEuler(1707-1783)へ変分法について手紙を出しています。Eulerは、手紙の内容の重大さに気付き、Lagrangeへ手紙の内容を論文にすることを進めました。現在では、Euler-Lagrange equationとしてしられ、上で紹介したBRACHISTOCHRONE問題は、簡単に解けるようになりました。
変分法に秘められた能力を紹介する上で、BRACHISTOCHRONE問題以外に

GEODESIC
問題
3次元空間にある2点間の距離が最小になる曲線を求める。
ISOPERIMETRIC
問題
限られた長さの糸で輪を作り、それを平面上に置き、糸の輪の内側に出来る面積を最大にする輪の形を求める。

が有名です。何れも、ある変数を最大か最小にすることが命題になっています。例えば、GEODESIC問題を取り上げると、2点間の距離を表わす式をEuler-Lagrange equationに代入すると、問題を満足する条件が答えとして得られます。答えは、直線です。ちなみに、ISOPERIMETRIC問題の答えは、円です。

■弾性解析■
上で紹介したように、Straightforward的な問題は、比較的簡単であるが、何を最小(or最大)にすれば弾性構造解析が行える支配方程式が得られるかは、かなり難しい問題です。Castiglianoは、この何にエネルギー(or 仕事量(w))を与えました。これによりCastiglianoの理論ができ、仮想仕事の原理(Method of Virtual Work or 最小仕事の原理)が生まれました。仮想仕事の原理は、弾性構造解析の代表例です。また、これらの方法を全てひっくるめて、エネルギー法(Energy Method)とも呼ばれています。

Numerical/Simultaneous NEXT
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