■単純梁の両端にモーメントがかかる式■
いきなり、構造力学の話しから始まり、ちょっと戸惑う方がいるかと思います。ご心配なく。 単純梁を取り上げた理由は、1次元Helmholtz Equationを導き出したかったからです。 まず、下の式を見て下さい。

この式が解決してくれる問題として、下の図に示す、Cチャンネルのバックリングが有ります。 土木や建築に携わっている方ですと、”なるほど”と頷く問題です。

このCチャンネルを、Z軸方向に単位長さ切断した状態を考慮します。それをZ軸方向から見ると、 左下のようなビームになります。ここでは、仮に単位長さを1cmとします。そして、 そのビームを中央付近で切断すると、右下図に示すような矩型になります。 h は、Cチャンネルの肉厚を示します。

上図に示すように、このビームの右から、集中力(P)を、水平方向に与えます。 すると、ビームは、下図に示す様に曲線を描きます。そして、この曲線は、半径(R)の円弧に近い曲線に なることが知られています。両端にピュア-なモーメントが作用している場合に限って、半径(R)の円弧に なります。後ほど詳しくお話しします。

ビームの内部では、上半分に引っ張りが発生し、下半分には圧縮が発生しています。つまり、 上側では伸び、下側では縮んでいることになりますね。応力分布は、下図に示す様に、ほぼ線形になります。