■WRMのまとめ2: 近似式のφ₁(x) について■
次の1次要素へ進む前に、近似式についてちょっとコメントしておきます。今までの近似式u(x)は、下図の左に示す様に、領域全体で連続な関数で表しています。

そして、近似式u(x)は、次の様に書いていましたね。全領域で連続な関数です。そして、du/dx も領域全体で連続な関数になっています。 ここに、φ₀(x) =u(0)N₁+u(L)N₂、N₁=(1-x/L)でN₂=x/Lです。

さらに、境界条件も近似式に盛り込んだ形になっていました。これらを何とかしないとこの先身動きが取れなくなってしまいます。つまり、サブ領域(要素)を近似式に取り込み、境界条件も自由に選択できる様にすると言うことです。手始に、

■φ₁(x) を山形にする■
上のφ₁(x) を下の左に示す山形の様な関数で置き換えたらどうなるでしょうか。 このことは、u(x)を下の右図に示す様な折れ線グラフで近似したのと同じことになりますね。

上の関数を使って、積分式の計算は出来るのでしょうか。答えは、Yes です。積分領域を x＝L/2 を境に、2つに分割すれば OK です。または、以前紹介したプログラムWRM1X1.FORのFUNCTION F1 を上図の山形を再現する様に書き換えても同じ結果が得られます。プログラム■TWELVE.FOR■のFUNCTION F1 を見て下さい。IF文を使って山形を再現しています。

ちなみに例題(WRM-1)の場合(u(0)=0, u(L)=1)、手計算を行うとa₁=3/44 が得られ u(L/2)=0.568181になります。まーまーな結果がでますね。プログラムTWELVE.FORでも同じ結果が得られます。プログラムを実行すると、u(0)の値を要求してきますので、例題(WRM-1)の場合0を入力して下さいね。結果ファイルとしてTWLV.FEMを出力します。計算値として、a₁=0.06818182が出ています。これは、3/44ですね。u(L/2)=0.5681818です。
貴方も、やってみて下さいね。見ているだけでは勉強にならないですよ。表計算ソフト等を使って近似解と厳密解を比較してみると良いと思います。