Green

Calculus in Finite Element Method
Green's Theorem-2

まず、幅b_yの中を流れる、x-方向の熱流束を計算してみましょう。 1次元のDivergenceの定理を使うと、次の様になります。

ここで、q_x=f(x, y)であることに注意して下さい。
次のステップとして、上の式の両辺を0からL_yまで、y方向に沿って積分します。左辺は、面積(領域)積分になり、右辺は線積分になります。下に積分結果と、線積分を行う部分と方向を示します。

次に、上式の右辺の第2項の積分方向を逆にします。すると、線積分方向が反時計回転になります。下がその積分の式と線積分の方向です。

上を数学的に書き表わすと下の様になります。音楽のトーン記号に似た積分記号が、閉じた線積分を意味します。線積分の方向も下の右の図に示しておきました。線積分は反時計方法がプラスです。

これで、x方向の積分は完成しました。次は、y方向です。