■2階微分項の特徴■
一通り、有限要素法の基礎の勉強が終了したところで、有限要素法の副産物について説明します。

まず、有限要素法のテクニックを使って、2階微分項の物理的意味を紹介します。説明のために、下の微分方程式を考慮します。つまり、Helmholtz Equation のαの項が無い式です。この方程式は、抵抗線内の電圧分布u(x)を表わすことが出来ます。未知数の微分 du/dx は、電流を表します。

すると、積分式 I は、部分積分を使って次の様に書き替えられます。

1次要素を用い積分を実行すると、要素のマトリックス型有限要素式が得られます。下がそうです。

まず、計算の対象となる領域として、適当な長さの抵抗線を考慮します。そして、その抵抗線を 6等分に要素分割します。1つの要素の長さは L です。次に、各々の要素のマトリックス型有限要素式を Assemble すると、下の連立方程式が得られます。

仮に、抵抗線内に電流が存在し、q₁=q₇ とします。すると、電圧の値は分からないが、電圧の分布は線形になるはずです。つまり、電圧は一定でないことを意味しています。勿論、抵抗線の表面からの熱損失は無いものとします。