helmholtz Equation

One Dimensional Finite Element Method
Helmholtz Equation: A Buckling Problem-2

■応力分布は本当に線形か?■
応力分布については、Hooke's Law で調べることが出来ます。(Hooke's Law に関する事柄については、 Solid Mechanicsで詳しく紹介します。)
それは、

ε_xx=(1/E){τ_xx-υ(τ_yy+τ_zz)}

ここに、E=Young Modulus, υ=Poisson's ratio, ε_xx=x軸方向の歪(Strain), τ_ij=i軸方向に直角な面に作用しているj方法の応力です。

もし、τ_yy=τ_zz=0 と仮定出来れば、ε_xx=(1/E)τ_xx と書けます。多分、Cチャンネルの中央部分の1cmを考慮すれば、この仮定は、ほぼ正しい言えます。 ”ちょっと待てよ、 τ_yy は、表面でゼロだけど、内部ではゼロになりません。 ”と言いたい方があるかと思います。確かにそうですね。ε_yy が、ゼロじゃありませんからね。多分、τ_yy は y軸方向に3次曲線を描くと思われます。ちゃんとしたことはSolid Mechanicsで勉強するとして、ここでは ε_xx=(1/E)τ_xx ということにしておきましょう。

作業を始める前に、ここで使う座標を定義しておきます。下の左の図を見て下さい。Beam の断面では、x'-y' を使います。 Beam の全体は x-Y 座標で表します。そして半径Rの円の中心は、(H,0) になります。

まず、Strainから始めましょう。 Strainは力を負荷した後の伸び率を意味します。式で表わすと次の左の様になります。ここに、Δx=力を負荷する前の長さ、Δx'=力を負荷した後の長さを意味します。

上の図は、ΔxとΔx'を極座標系(Polar Coordinates)で表わしています。 Rは、Beam曲率を表す半径です。 Δθは、原点からR行った点でΔxの幅になる角度です。極座標では Δx=RΔθそしてΔx'=(R+y')Δθですから ε_xxは上の右の様になります。

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