■First Variation■
もし、上の 状態関数(前のページ) が単位長さ当たりのエネルギーを表しているとします。すると、領域内の全てのエネルギーを知るには、y(x) に沿って 状態関数 を積分する必要があります。

変分法では、y(x)の形を色々と変えながら、状態関数 を下式によって積分し、積分値が極値(最大または最小)を示す y(x) を探します。ここでは、積分値が極値(最大または最小)になる y(x)を y₀(x) で表します。後で詳しく説明しますが、y₀(x) は、Helmholtz equation の厳密解になります。

ここで取り扱う問題は、Dirichlet 境界としたため、上の様な積分式になっています。もし、Neumann 型の境界が存在すると、境界積分が上の式に追加されます。頭がくしゃくしゃしてきますので、ここでは、ひとまず、Neumann 型のことは、忘れて下さいね。

ところで、Helmholtz equation を y(0) と y(L) の Dirichlet 境界条件で解くと、下の様になることは前に説明しましたね。

上の解を、その上に表示してある積分式に代入すると、I₀ が計算され、この値は、極値(最大または最小)になっているはずです。

ところが、私達が求めようとしているのは、厳密解ではなく近似解(変分法では、admissible solutions という｡)です。もちろん、厳密解(y₀) が常に存在すれば、有限要素法や変分法の勉強は必要ありませんがね。

では、無理矢理、上の厳密解をベースに近似解を作ってみましょう。下式がそうです。その下の図も参考にして下さいね。