または、

前にも言いましたが、これが 重み付け残差法(WRM)の基本形です。このことから言えることは、重み付け残差法(WRM)は、変分法の副産物だったと言うことが分かります。

ここまでで、何か質問は有りますか、と訪ねると、多分、次の2つが上がると思います。

最初の質問に対してですが、これと言った方法はありません。ただ、Euler-Lagrange equation と微分方程式を見比べて、山勘で 状態関数 を求めます。

次の質問については、なにも決まりはありません。ただ、境界条件によって変分が存在するかどうかを考えるのみですね。例えば、Dirichlet境界では、近似解=厳密解ですから、変分は有りませんね。ところが、Neumann 境界では、どうでしょうか。これについては、後で説明します。

■例題■
あまり、理屈ばかりこねていては、理解しずらいので、何か計算してみましょう。以前、下図に示す状況を計算したことがありますので、ここでもこの例題を取り上げることにします。ここで、α=1､L=1、y(0)=0、y(L)=1 です。

そして、この場合の厳密解は、y₀(x)=sin(x)/sin(1) でした。また、念のために 状態関数 は、次の様でしたね。

そして、近似解は、次の様になります。前と同じですね。