例として、Dirichlet 境界条件のHelmholtz equation の近似解は、次の様な式で表していましたよね。

ここに、a₁ は、有限要素法の解析で求まる定数でしたね。

これまでの議論ですと、上の近似解は、厳密解＋重み関数(y₀(x)+δy(x)) ですから、δy(x)が含まれていることになりますよね。ですから、上の式からδy(x)の条件(Dirichletだからδy(0)=δy(L)=0) に合う関数をpick up することにより、重み関数を作れますね。つまり、下式です。

この様に、近似解の一部を重み関数として流用する方法を Galerkin method と呼びます。都合の良いことに、近似解の式を構成している形状関数と重み関数を作り上げている形状関数の条件が、同じだからです。まー、重み関数を作る手間が省けると言うことですね。

■Neumann Type B.C.■
これまでは、Dirichlet 境界条件のみを扱ってきました。ここでは、Neumann Type の境界条件について、簡単にふれておきます。Neumann Type の境界においては、dy/dx が境界値として与えられることになります。Helmholtz equation では、左右対称の条件がそうでしたね。一般的に、下式で Neumann Type の境界条件は、与えられます。

上の式の場合は、x=L の境界がNeumann Type の境界になっています。ということは、y(L)は、q の値によって変動することになりますね。また、q が一定でも、近似解(y(x)=y₀(x)+δy(x))の精度によっても y(L) は、変化します。ですから、δy(L)は、下図(次のページ)に示す様に、Neumann Type の境界において、ゼロにならないことになります。