前ページの図のTは、wire(ds)の左端に発生しているTension(張力)です。Wireに作用している唯一の外力は、ρg と仮定しています。すると、距離 ds 行った点(dsの右端)でのTensionは、T+dT になっているはずです。実際は、dTに負の値が入っていますげね。なぜかと言うと、wire の端の方が、中央付近よりTensionは大きい値になっていますからね。

話の材料が揃ったところで、ΣF=0をとってみましょう。まず、ΣF_x=0 を見てみます。下式がそうです。

上式から言えることは、dT_x=0 ですから、

と言うことになりますね。どういうことかと言うと、wire のどの部分(ds)を切り取っても、その wire を支える Tension の x成分(水平方向)は、一定と言うことです。”当たり前なことじゃないか”とお思いでしょうが、この発見が後で大変役立つのですよ。

次に、ΣF_z=0 を見てみましょう。下式がそうです。

すると、z 方向には、下の微分方程式が得られます。

そして、Chain rule を左辺の第1項に施すと、次の様になります。

さらに、上式の両辺に ds/dx をかけると、下の様になりますね。

ところで、dT_z/dx から、どの様にすれば、Wire の座標を計算できる微分方程式にすることができるのでしょうか。答えのヒントは、次のページ図をにあります。