■自由度が2の近似式■
さて、自由度が2の Helmholtz Equation の有限要素法は、どうなるのでしょう。つまり、近似式に2つの未知数(Unknowns) が有る場合のことです。下式を見て下さい。
| u(x)=φ0(x)+a1φ1(x)+a2φ2(x) |
| ここに、 | φ0(x)=u(0)(1-ξ)+u(L)ξ | φ1(x)=ξ(1-ξ) | φ2(x)=ξ2(1-ξ) | ξ=x/L |
この様に、未知数が2つの場合は、先ほどの議論より、2つの積分式と2つの重み関数が必要になってきます。運良く、2つ目の重み関数として条件をクリアーしているφ2(x)が使えそうです。すると、2つの積分式は次の様になります。
これをマトリックスの形で書くと次の様になり、未知数 a1とa2について計算することが出来ます。
上で、2つの重み関数が必要と言いましたが、勝手に適当に、2つの重み関数を作っても良いのでしょうか。2つ目の重み関数を決めるための条件はないのでしょうか。答えは、2つ目以降の重み関数には、厳しい条件が要求されます。 例えば、φ2(x)=cφ1(x) はどうでしょう。先ほどの2X2 のマトリックスの行列値(Determinant)は、どのような値になるでしょうか。答えは、ゼロです。従って、φ2(x)は、φ1(x)に対し独立関数でなくてはなりません。つまり、次の条件を守らなくてはなりません。
| 重み関数の条件(追加) |
|---|
| 各々の重み関数は、互いに独立関数でなくてはならない。 |
同様に、近似式に使われる関数も、互いに独立関数でなくてはならないのです。独立関数とは、他に関数 g(x)とh(x)がある場合、(1)f(x)=定数・g(x) でないこと、(2)f(x)=定数・g(x) + 定数・h(x) でないこと、です。
問題
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