Torsion

書物やネットを見るとTorsionはAdhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (23 August 1797 – 6 January 1886)が示したSaint-Venant's theoremがベースになっているようです。 このころの弾性力学では、一定断面を持つBeamの特性を分析するのが一般的だったようです。 Torsionに関してSaint-Venant's theoremによると、最大のねじり剛性を持つBeamの断面は円であると述べています。Rate of Twistをθとすると、円形断面のシャフトの場合の ねじり剛性 は以下の式で書けます。JはPolar moment of inertiaでJ=πD4/32です。

\begin{eqnarray} \ Circular\ cross-section \ : \theta = \frac{M_x}{GJ} \end{eqnarray}
円形の断面積をAとすると、上の式は以下の様に書けます。
\begin{eqnarray} \theta = \frac{2M_x}{G \pi A^2} = 6.283185 \frac{M_x}{G A^2} \end{eqnarray}
そして大きさがbhの矩形の場合は、以下になります。
\begin{eqnarray} \ Rectangular\ cross-section \ : \theta = \frac{M_x}{\beta bh^3 G} \end{eqnarray}
矩形を正方形とし断面積をαとすると上式は以下になります。正方形の場合β=0.141です。
\begin{eqnarray} \theta = \frac{M_x}{0.141 \alpha ^2 G} = 7.09299 \frac{M_x}{ \alpha ^2 G} \end{eqnarray}
上の2つの式を＝と置くと、断面積比はα/A=1.062になります。矩形の断面積をα=4とした場合、円形の断面積はA=3.7647で良いことになります。Saint-Venant's theoremの通り矩形と比較すると円形断面の方が少ない断面積で目的のねじり剛性が得られることになります。これについては、後ほどFEMのところで計算例を紹介します。

ということで、ここでは有限要素法、3次元弾性解析、境界要素法でねじり剛性を調べることにします。Torsionについたは、文献等に記載されている内容をまとめた事がありました。 この資料も参考にして頂ければ有難いです。

Theory Behind Torsion
Torsionに関する理論を紹介します。最終的にTorsionの支配方程式としてPoisson's Equationが導かれます。
FEM
Torsion
Torsionの支配方程式であるPoisson's Equationを有限要素法(FEM)で解く方法を紹介します。使う要素は4-nodedと9-noded Iso-parametricの2つです。
BEM
Torsion
Poisson's Equationを境界要素法で解いてみます。Lapace EquationのGreen関数を使います。Poisson's Equationの2Gθの項は領域積分することになります。
3DIM
Torsion
3次元弾性解析でTorsionを計算し、2次元の計算結果と比較します。使う要素は8-noded 3次元1次ヘキサと27-noded 3次元2次ヘキサです。

NEMU Cal Num 1D 2D Param Solid Time&Upwind Fluid GW 3D Torsion Ref
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