One Dimensional Finite Element Method
Helmholtz Equation: A Buckling Problem-4

■円の式と円の微分方程式■
薄い鉄の板を3cmX30cm位の大きさに切断し、定規をつくります。 そして、定規両端を溶接し、 下に示す様な真円をつくります。真円であるということは、 円のどの位置をみても、板の表面の張力応力と裏面の圧縮応力は、同じになるはずですよね。


つまり、円上のどこでも、曲げモーメントの値は、同じということになります。 ここで問題にしているビームも両端に同じ曲げモーメントが作用しているので、 ビームが変形した状況は、円の一部であることが分かります。

そこで、円の一部を表す微分方程式は、あるのか?です。 円の式は、知っていますよね。x2+y2=r2です。 では、この式を解とする微分方程式は、どんなかっこうをしているでしょう。次の様な式になっています。 つまり、ビームの微小区間において、yの2階微分、yの1階微分、1/Rとの関係を表して いることになります。


■曲率 1/Rは?■
ここで取り上げている定規で作ったビームには、両端にモーメントが作用していました。 このことは何を意味しているかと言うと、ビームは、半径Rの円弧を描き、 ビームの曲面は下の円の式で書けることになりますよね。


そして、曲面では、下の円の微分方程式が成り立っていることになりますね。


ここで注意してもらいたいことは、y=Y+S ですから、 次の関係が成り立ちます。何故かと言うと、S は一定な値ですからね。


円の式が、円の微分方程式の解であるということを確認するために、次に示す関係式を、 円の微分方程式に代入してみて下さい。最も手っ取り早い方法として、 表計算法(Excel97)があります。

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