話を元に戻しましょう。さて、近似式は、どの様に書き表せばよいのでしょう。また、近似式に使われる関数はどの様な格好をしているのでしょう。まず近似式は、次の様になります。

そして、上式の関数 φ₁(x), φ₂(x), φ₃(x) の条件1として、u(x₁)=u₁、u(x₂)=u₂、u(x₃)=u₃を得るには、下表を満足させなければなりません。また、条件2としてu₁=u₂=u₃=1の場合を考えると、φ₁(x)+φ₂(x)+φ₃(x)=1でなければなりません。これら2つの条件は、とても重要です。

これらは、かなり荒っぽい関数ですが、近似式としての条件を満足しています。

■重み関数と未知数(u₁, u₂, u₃)の管理区域■
重み関数としての条件も満たしています。また、重み関数と密接な関係にあるのが、未知数でしたね。つまり、 u_kの管理区域で重み関数φ_kは、有限な値を持ち、その区域外ではφ_k=0となるでしたよね。したがって、上の図から u_kの管理区域として u_kが存在している要素と言うことになります。例えば、u₁は、要素1に存在しています。ですから、u₁の管理区域は、x₁からx₂までとなります。u₂は、要素1と要素2に存在しています。管理区域は、x₁からx₃までとなります。

■境界条件■
φ₁(x)とφ₃(x)は、Dirichilet境界条件またはNeumann境界条件が与えられるように、φ₁(x₁)=1とφ₃(x₃)=1になるように作れれています。境界条件と境界値の挿入方法については、例題のところで詳しく説明します。