つづき
N₁(x)を有限要素式のφ(x)に代入すると、次の様な結果が得られます。

まず、上式の境界積分項ですが、N₁(x₂)=0 で N₁(x₁)=1 であるから、(du/dx)N₁ は、du/dx at x=x₁ になります。ここでは便宜上、下式で表します。

上式は、Neumann 型境界条件です。ここでは、Beamの勾配が指定できます。 よって、境界積分は次の様になる。

次の領域積分では、形状関数と未知数の微分が必要になります。それらを計算すると次の様になります。

ここに、L₁は要素1の長さを意味します。したがって、微分項の領域積分結果は、下図の様にります。

そして、α²の項の積分にある uN₁は、要素1での近似式より、次のように書けます。

uN₁の積分で注意してもらいたい事が1つ有ります。一般に、この項のことを微分方程式では生成項(Source Term)と言い、稀にこの項に独立変数(independent Variable)が含まれていることがあります。1次元Helmholtz Equstion の場合、独立変数は x ですが、ここで紹介しているHelmholtz Equstionには、独立変数は有りません。
つづく