例えば、[N]^T[N]や[B]^T[B]の積分です。上の形状関数を使うと、これらの積分が非常に面倒になります。ここでは、2次以上の高次要素のことも考慮して、座標変換とGauss積分法を用いた有限要素法を紹介します。また、プログラムもすっきりして見易くなります。

まず、下の図をご覧下さい。実座標のx₁、x₂、x₃がそれぞれ、無次元座標のξ=-1、ξ=0、ξ=+1 に対応しています。

座標変換については、 数値積分のところでも紹介しましたので、そちらも参考にして下さい。以前は、線形座標変換でしたが、ここでは、座標変換の式も2次式になります。

まず、実座標上の関数u(x)をx₁からx₃まで積分することを考えます。そして、実座標の独立変数xを、無次元座標の独立変数ξに変換します。そのために、チェーンルールで構成されているJacobian Matrix [J] の行列値 |J| を使います。1次元の場合はマトリックスでなくスカラーになります。つまり、dx=(dx/dξ)dξですから、|J| は次の様になります。

すると、u(x)の積分は下式の様になります。

上でも言いましたが、1次元の場合、[J] は1x1のマトリックスで、行列値=マトリックス[J]=スカラーになっています。2次元および3次元の場合、[J] は、それぞれ2x2、3x3のマトリックスになります。