Weighted Residual Method

One Dimensional Finite Element Method
Weighted Residual Method-2

■Weighting function■
さて、重み関数のφ(x)ですが、どの様な関数なら、上の積分式で使えるのかということです。下表に、φ(x)に関するルールを紹介しましょう。詳細については例題のところで再度説明します。

重み関数の条件
重み関数は、連続であること。
Dirichlet境界において重み関数は、値がゼロである。
Neumann境界において重み関数は、値が1で微分値がゼロである。
重み関数は無次元である。

上の条件に当てはまる関数が近似式(近似解)の中に有ります。

です。 φ₁(x)は両境界でゼロになっています。
ここで、ちょっと注意して置きたいことがあります。重み関数の境界値は、Dirichlet問題かNeumann問題かによって違ってきます。これについては、後で詳しく触れます。また問題の違いで重み関数を作り変える必要の無い方法も１次要素の積分で説明します。

このように、近似式の一部を重み関数として使う方法を Galerkin's Method といいます。

ここで取り上げる最初の問題は、 u(0)とu(L)が既知のDirichlet境界条件なので、両境界点での重み関数値は、ゼロです。つまり、境界での重み関数値は、a₁の計算には、必要ないということです。注意：Neumann型境界の取り扱いについては、次のSectionで詳しくお伝えします。

ここに

、

関数、(1-x/L)、x/L、(x/L)(1-x/L) を下に示しておきますので参考にして下さい。最初の2つの関数は、１次要素のところで詳しく説明しますが、これらの関数を１次要素の形状関数と言い、 N₁=(1-x/L)、N₂=x/L　の様に関数に大文字のNを使います。


\begin{eqnarray} N_1(x)=\left(1-\frac{x}{L}\right) \end{eqnarray}	\begin{eqnarray} N_2(x)=\left(\frac{x}{L}\right) \end{eqnarray}	\begin{eqnarray} N_1(x)N_2(x)=\left(1-\frac{x}{L}\right) \left(\frac{x}{L}\right)\end{eqnarray}重み関数として使う関数です

ちょっと、理屈が先行してしまいました。頭がくしゃくしゃになりそうですね。まー、理屈は、無視してもらってもけっこうです。この時点で大切なことは、どの様にして a₁ を求めるかです。まず、テクニックを学んで下さいね。

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