■Integration By Parts■
重み関数が見つかれば次は、部分積分法を用いて、積分式の中の2階微分項の処理です。この処理を行うことにより、2階微分項は、1階微分の積分と境界積分に分離されます。したがって、部分積分法を積分式に施すことにより、下表の様な、有限要素法固有の特徴が現れてきます。

では早速、2階微分項を、部分積分で展開してみましょう。下式の様になります。

”ちょっと分かりません”という方に、部分積分を、もう少し噛み砕いて説明しましょう。まず、下の式を見て下さい。これは、単なる定積分の定義ですよね。

ところで、上式の左辺ですが、積分される内容は、下式に示す様に、2つの項目に展開できますよね。2つの関数の積の微分方法ですね。分からない人は、昔習った数学の本を開いて下さい。

と言うことは、上式の結果をその上の積分式に代入すると、次の様になります。そして、左辺の第2項を右辺へ移動すると、最初に紹介した部分積分の式になりますね。

部分積分は、有限要素法で頻繁に出てきますので、今うちにマスターしておいて下さい。

■Finite Element Equation■
さらに、上式と より、下式が得られます。 この式のことを通常 Helmholtz Equation の有限要素式( Finite Element Equation )と呼ばれます。

ここまで来れば、Helmholtz Equationに対する有限要素法の仕事は、50%終えたと思って良いでしょう。この後は、いかにして有限要素式を、数値的に解くかです。
話を前に進めましょう。Dirichlet境界条件を、領域の両端に与えた時の重み関数 φ(x) は、x=0 と x=L でゼロであるから、境界積分の項は、消えてなくなります。従って、有限要素式は次の様になりますね。