u(x)=u(0)+a1ξ(1-ξ) φ(x)=ξ(1-ξ) ξ=x/L, dx=dξ du/dξ=a1(1-2ξ) dφ/dξ=(1-2ξ)

上の項目を有限要素式に挿入し、積分を行うと、a₁=5/9 になります。この数値を近似式(上表のトップ)に代入し、x=1/2 の点で u(x) を計算するとu(1/2)=1.1388888になります。厳密解と比較すると、誤差は0.0006になります。

実際、そうなるかどうか、やってみましょう。本当は、貴方がやるべきなのですがね。
まず、第1ステップとして、上で紹介した”必要な材料”を積分式に代入してみましょう。すると、次の様になります。貴方も、やってみてくださいね。

ξ=x/L ですから、dx=Ldξ であることに注意し下さいね。領域の長さは、L=1 ですから、積分範囲は変わりませんね。ということを、頭にいれて、上の積分式を展開すると、次の3つの積分項に分けられます。

積分式の中の未知数は、a₁ の１つですね。上の結果を積分式に代入すると、次の代数式が残ります。

そして、a₁ について計算すると、次の結果になります。

これで、近似解が出来上がりました。厳密解と比較してみて下さい。できれば、x座標の1点で精度をチェックするのでなく、近似解と厳密解との二乗差を、0からLまで積分してみると、より厳密に近似解の精度を調べられると思います。

先へ進む前に、是非、この問題をやって下さい。今後、この問題を中心に、話しを進めて行きますので。

今まで学習した事をまとめてみましょう。近似式の中に含まれる未知数(Unknown)の数は、１つでした。計算に使った積分式も１つでした。更に、重み関数の数も１つでした。つまり、有限要素法で微分方程式を解く場合、次のことがらが言えます。