■右端がNeumann型の近似式■
前のページでは、計算をしたら偶然に右端でdu/dx=0になっている状況を紹介しました。ここでは、意識的にdu/dx=Sを右端に与える近似式を作ってみましょう。これには、ちょっとしたテクニックが必要になってきます。この先を見る前に、貴方もトライしてみませんか。
近似式の型は、前と同じ u(x)=φ₀(x) + a₁φ₁(x) ですが、φ₀(x)とφ₁(x) が前とかなり違ってきます。以下の様になります。N₁=(1-x/L)でN₂=x/Lです。

φ₀(x)についてですが、下図の左に示す様な条件を満足しています。貴方もチェックしてみて下さいね。つまり、φ₀(x)は、下の右図の様になっていることに気付くと思います。

φ₁(x)はというと、下の左に示す条件を満足しています。グラフにすると、φ₁(x)は、下の右図になります。いいですかね？。

u(x)をxで微分しx=Lでの値を計算すると、下に示す様に、du/dx=S になっていますね。貴方もそうなることを確認して下さいね。

さらに、u(L)=u(0)+a₁ですから、a₁が計算できれば、u(L)が簡単に得られますね。

ここで作った近似式を積分式に代入すると、a₁が計算できますよね。その前に、もう一度、積分式をここに表示しておきます。

すると、上式の境界積分は、下に示す様に S になりますね。これは分かりますよね。

つまり、次の式を解けば、a₁が計算されます。

上に式とここで紹介した近似式でプログラムを作ってみました。プログラムの名前は、WRM1X1S.FORです。計算もちょっとやってみました。まず、u(0)=1, S=0, L=0.5, α²=1 の場合の計算結果とu(0)=1, S=0.5, L=0.5, α²=2 の場合の計算結果です。

■”変位法”■
上の例題を見て解る様に、Neumann型境界条件を取り扱うのは、ちょっと大変そうですね。それもそのはずです。近似式もS=du/dxを満足し、積分式もSを満足しています。何となくオーバースペックになっている様です。何とか簡単にならないかと言う感じですね。これは、Hermite型の近似式です。市販のFEMソフトの場合、近似式は、S=du/dxを満足していません。積分式のみがSを満足しています。この様な方法を変位法と呼んでいます。この方法を使うことにより、Neumann型境界条件の取り扱いが非常に簡単になりますが、Neumann型境界での計算精度は、ちょっと落ちることになります。手の込んだ近似式を作ることを思うと、かなり楽ですね。

これで、領域全体を１つのスムーズな式で近似するのは、終わりです。これからは、折れ線グラフみたいな近似式を使って積分式を計算します。そして、Neumann型境界条件の取り扱いには、変位法を使うことにします。