■δI=0の意味■
δy₁ が変化したときの 積分式の値(I) の状況を調べる最も簡単な方法として、先ほど紹介した近似解(y(x)=y₀(x)+δy(x))を 状態関数 に代入することです。すると、状態関数は、次の様になります。

そして、積分式(I) は、次の様に書けますね。

ここで、上式の右辺の第2項の y₀ を y₀=y(x)-δy(x) で置き換えます。すると、上式の右辺の第2項のy₀が y になり、他の項は、そのままになります。多少、符号は変わっていますがね。つまり、上式は、次の様になります。

これを、下式の様に書くことにします。前にも言いましたが、y₀(x) を積分式に代入すると、極値(最大または最小)のI₀ を生産しますね。

ここで何を追求していたかと言うと、近似解y(x)を厳密解y₀に近づける条件を探していました。つまり、上式の I が I₀ に近づく条件ですね。ここで、δy は、とても小さい値だと仮定していますので、δy² を含む δ²I は、ゼロと置きます。すると、I = I₀ にするには、下の左の条件が満足しなければなりませんね。つまり、下の右の積分式になりますね。

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ここで、δI の積分式には、(1/2) が無いということに注目して下さい。また、下式に示す様に、δy(x)=δy₁φ₁(x) ですから、積分(I)をδy₁で微分しても、δI=0 の積分式と同じ様な式になりますね。変数δy₁でδI=0 の両辺を割った状態になっていますね。

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さて、肝心のy(x)ですが、上の積分式を満足する y(x) を作り出せばよいことになります。これって、どこかで見ましたよね。そーです。WRMのところで見ました。計算方法については、既に紹介しましたよね。