■変分法とWRMは同じ■
上の式(前のページ)を、よーく見ると、WRM で紹介した積分式とまったく同じですね。 WRM のときは、Helmholtz equation に重み関数をかけ、それを領域積分しゼロと置きました。そして、2階微分項に部分積分を施しましたね。 ここでは、近似解が厳密解に近づくための条件を、変分法で導きました。つまり、δI=0 です。両者が同じということは、ここで紹介した 状態関数 は、Helmholtz equation の 状態関数 であるということを証明してくれていることになりますね。 また、WRM では、下の左の式に示す様に、”微分方程式に重み関数(δy(ｘ))乗じて、領域積分し、それを強制的にゼロにする。そして、2階微分項に部分積分を施す”でしたよね。もう分かったと思いますが、実は、下の左に示すWRMの積分式は、変分法から導き出された結果(右の式)だったのです。

または、

そして、もっと重要な事は、変分(δy(ｘ))が重み関数だったのです。 なんと、まーですよね。よーく考えると、変分(δy(ｘ))の形状には、なんの制限も有りませんでしたよね。と言うことは、重み関数の形状にも、なんの制限もないことになる訳ですよ。

■Euler-Lagrange Equation■
始めのころに、変分法の先駆者は、Jean Bernoulli(1667-1748) と言いました。歴史上確かにそうなんですが、ここで紹介している変分法を学問に仕上げる切っ掛けをつくった人物は、Joseph L. Lagrange (1736-1813) だったのです。ここからは、Lagrange がどんな活躍をしたかを紹介します。ちょっと話が難しくなりますので、読みたくない人は、次の2次要素へ進んで下さい。

先ほど、下に示す条件式を紹介しましたね。下の式は、変分方向にTaylor展開すると出てくる項です。

上の式を展開すると、次の様になります。理解しずらいと思いますが、よーく見ると、ただ、状態関数 を　δy₁ で微分しているだけです。貴方もやってみてくださいね。

ところで、近似解(y(x))は、下式の様に定義しましたね。

または、

ですから、近似解をxで微分すると、次の様になりますね。